Pourquoi les punaises tombent-elles toujours à l'envers ?

La question

Voici une question murphique  (répondant aux lois de Murphy) existentielle: pourquoi les punaises tombent-elles quasi toujours sur le dos? Savent-elles qu'ainsi, dans un moment d'égarement nous viendront nous empâler le pied dessus? Ou répondent-elles simplement aux lois de la physique régissant notre univers? Et vous, êtes-vous si sûr que les punaises tombent toujours à l'envers?
Punaises

La réponse

punaise tête en l'airCommençons par une expérience. Munissez-vous d'une boîte de punaise classique à tête plate et faites la tomber malencontreusement de la table. La moitié (50% environ par calcul) des punaises tombent à l'envers -comme la punaise bleu- , le reste sur le côté -comme la punaise jaune-. Bien évidemment, aucune ne tombe la pointe dans le sol!
punaise tête au solSi les punaises se comportent ainsi, c'est à cause d'une notion de physique: la gravité. Cette force est une attraction réciproque de deux corps entre eux du fait de leur masse. Plus concrètement, toute chose ayant une masse est irrémédiablement attirée par une seconde chose ayant elle-même une masse non nulle, et vice-versa.
Error
En chaque instant, vous-même exercez sur chaque chose -et chaque chose exerce sur vous- une attraction de type gravitationnelle. C'est celle-ci qui maintient vos pieds au sol. Si vous étiez plus lourd que la Terre, les objets se colleraient à vous plutôt qu'à elle.
 
Cette gravité s'exerce en un point de l'objet que l'on nomme centre de gravité. Dans un champ gravitationnel homogène (identique en tout point de l'espace), le centre de gravité d'un objet est son centre de masse aussi appelé barycentre.
barycentre
Formule de calcul du barycentre.
Logo définition
Le barycentre est le point en lequel la somme des moments des particules du corps s'annule (cf formule ci-dessus où ai est le coefficient de pondération [masse] du point i de l'objet.). C'est le point d'équilibre de l'objet.
 
Chez l'humain, le barycentre se situe au environ du nombril, comme l'illustre Léonard de Vinci sur son Homme de Vitruve.
 
Revenons à notre punaise: en déterminant son centre de gravité G, nous pouvons déduire l'angle limite qui va mener à une chute sur la tranche (punaise jaune) ou à une chute sur la tête (punaise bleue).
 
La punaise est composée de deux parties:
- la tête, de diamètre L, de masse m1 et de centre de gravité G1 placé en son centre.
- la pointe, de longueur l, de masse m2 et de centre de gravité G2 placé en son milieu de longueur.
La longueur totale de la punaise est donc l et son diamètre L. Son centre de gravité G est placé sur la tige à une distance de G1 telle que:
barycentre
L'angle a correspondant au basculement entre la 'chute tranche' et 'chute tête' est l'angle maximal entre l'horizontal et la pointe que peut avoir la punaise pour passer d'un type de chute à l'autre:
schéma des forces qui s'exercent sur la punaise
L'angle a est l'angle limite.
C'est un point d'équilibre instable: plus grand, la punaise bascule pointe en l'air, plus petit, elle tombe sur le côté.
 
Cet angle a se calcul comme ceci:
calcule de l'angle alpha
 
Au final, on s'aperçoit que la mesure de cet angle dépend comme l'on pouvait s'y attendre des masses et des dimensions de la tête et de la tige de la punaise. Cet angle est pour le cas d'une punaise classique comme celle présentée précédement (jaune et bleu) d'environ 4 à 6°.
 
La portion d'angle correspondant à une chute sur la tête est un cône d'angle compris entre 4 et 90°. Cela nous donne une proportion théorique de (90-4)/180 soit 48% de chance de tomber sur la tête. Suivant les punaises considérée cette proportion varie de 46 à 50% environ.
Punaise à tête cylindrique
Notez que certaines punaises à tête cylindrique (image ci-contre) ou ronde résolvent ce problème: impossible qu'elles tombent à l'envers! A vous de faire le calcul avec vos propres punaises!
Error
Cette démonstration est fortement liée à celle indiquant les paramètres faisant qu'une tartine de confiture beurrée tombe souvent à l'envers. Cette mise en équation extrêmement complexe, dépendant de la hauteur de chute, de la quantité de beurre, de pain et de confiture, de leur répartition, de leur densité, et de bien d'autres paramètre a reçu l'Ig Nobel de Physique 1996. Il s'agit de l'équivalent du prix Nobel de la recherche scientifique rigoureuse sur un sujet inutile et/ou dépourvu d'intérêt pratique !
 
En résumé...
 
C'est l'action de la gravité et l'équilibre particulier de la punaise qui sont responsables de la position de chute (pointe en l'air ou sur le côté). Comme l'on pourrait s'y attendre de manière instinctive, il y 50% de chance seulement que la punaise tombe pointe en l'air. L'adage populaire est donc faux!

Pour aller plus loin...

 
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